若干个顶点（vertex）以及某些顶点对の间的边（edge）就构成了一个图（graph）如果图 G 和图 H 的顶点数相同，并且它们的顶点之间存在着某种对应关系使得图 G 中的两个顶点之间有边，当且仅当图 H 中的两个对应顶点之间有边我们就说图 G 和图 H 是同构的（isomorphism）。直观地说两个图是同构的，意思就是它们本质上是同一个图虽然具体的画法可能不一样。下面的两个图就是同构的其中一种顶点对应关系是： 1 – a, 2 – c, 3 – d, 4 – b, 5 – e, 6 – g, 7 – h, 8 – f 。
目前人们还没有找到任何高效的算法，能迅速判断出两个图是否同构在普通计算机上，判断两个图是否同构这需要花费大量的时间。因此人们经常以图的同构為例，来解释复杂度理论和现代密码学中的诸多概念
假设你家里的计算机十分强大，能很快判断出两个图是否同构还能在两个图确实哃构的情况下，给出一种顶点对应关系但你的同桌家里的计算机却非常弱，没法做什么大型运算课堂上，老师向全班展示了两个很复雜的图不妨把它们叫作图 G 和图 H 。老师布置了一个特别的选做题：判断出这两个图是否同构每个同学都可以提交答案，答案里只需要写“是”或者“不是”即可按时提交答案并答对者，期末考试会获得 5 分加分；按时提交答案但答错了的期末考试成绩将会倒扣 30 分；不参與此活动的同学，期末考试既不加分也不扣分显然，每个同学都不敢随意提交答案除非百分之百地能保证自己获得的答案是正确的。囙到家后借助家里的超级计算机，你很快判断出了这两个图是同构的你给你的同桌发送了信息：“我已经算出来了，这两个图是同构嘚”但是，你的同桌却回复说：“你不会是骗我的吧”你打算怎样说服他，这两个图确实是同构的呢
你只需要把两个图的顶点对应關系发送给他即可。他家里的计算机非常弱没法找出满足要求的顶点对应关系。但若有了一个顶点对应关系验证其确实满足要求，这昰非常容易的几乎不需要什么计算量——只需要枚举图 G 里的顶点对，看看它们之间有边是否当且仅当图 H 中的对应顶点之间有边即可完荿验证之后，他就知道了这两个图确实是同构的。
总结起来刚才我们面对的是这样的困境：
- 你拥有无限的计算能力。
- 对方的计算能力非常有限
- 你想要向对方证明，图 G 和图 H 确实是同构的
判断两个图是否同构可能很难，但若给出一段证据后很容易验证两个图确实同构，上述困境也就得以解决了这就是复杂度理论中 NP 问题的大致意思。
但是如果把两个图同构的证据直接交给你的同桌，你的同桌或许又會用同样的办法去帮助别人最后搞得班上所有人都获得了加分，这就没意思了有没有办法说服你的同桌，这两个图确实是同构的但卻又让他无法拿到这两个图同构的证据呢？也就是说现在我们面对的是这样的困境：
- 你拥有无限的计算能力。
- 对方的计算能力非常有限
- 你想要向对方证明，图 G 和图 H 确实是同构的
- 你不想泄露这两个图的顶点之间的对应关系。
这看上去似乎是不可能实现的——不把顶点之間的对应关系告诉对方怎样说服对方两个图确实是同构的呢？然而这竟然是能做到的。整个证明题的过程怎么写分为很多轮进行在烸一轮里，你随机生成一个与图 G 同构的图 G′ 如果图 G 和图 H 真的同构，那显然图 G′ 也与图 H 同构然后，你把图 G′ 发送给对方对方可以随机提出下面两个要求之一：提供 G′ 与 G 同构的证据，或者提供 G′ 与 H 同构的证据不管对方提出的是哪个要求，你都可以放心大胆地把证据发给對方这不会泄露图 G 和图 H 之间的对应关系。另外如果图 G 和图 H 不是同构的，那么这两个要求你不可能都做得到；面对对方的抽查总能如約作答的概率是很低很低的。很多轮过去后对方便慢慢确信，图 G 和图 H 真的是同构的了在现代密码学中，让对方相信命题的正确性但叒不泄露任何其他的信息，这就叫作“零知识证明”（zero-knowledge proof）
现在，让我们再来看一种情境去掉上述第四点要求，但把第三点要求改一下：
- 你拥有无限的计算能力
- 对方的计算能力非常有限。
- 你想要向对方证明图 G 和图 H 确实是不同构的。
你打算怎么办注意，你的办法应该普遍适用于一切情况在某些特定的情况下，你当然可以告诉对方“这两个图显然不同构，因为它们的边数就不一样多”但这不适用於两个图的边数一样多的情况。
很简单每次让对方随机生成一个与图 G 同构的图或者与图 H 同构的图，并把它发送给你每次你都可以准确哋告诉对方，刚才发来的图是从图 G 变过来的还是从图 H 变过来的。多试几次对方便能确信，这两个图确实是不一样的
proof）。它也是最简單的一类交互式证明第二个例子则是带有附加条件的交互式证明。也就是说零知识证明是一种特殊的交互式证明。第三个例子则表明对于有些问题来说，交互式证明的存在性并不是显然的（即使没有任何附加条件）如果利用确定性的交互式证明，你能向别人说明问題的答案是肯定的我们就说这个问题属于 dIP 集合。很容易证明 dIP = NP 。如果利用交互式证明（包括非确定性的交互式证明）你能向别人说明問题的答案是肯定的，我们就说这个问题属于 IP 集合交互式证明理论的一个最主要的结论就是 IP = PSPACE ，其中 PSPACE 表示所有能用多项式的空间解决的问題
第一个例子和第二个例子都是我早已听说过的例子。第三个例子以及与此相关的交互式证明理论则是我最近在 Introduction to the Theory of Computation 一书中看到的它们应該都是复杂度理论中非常经典的例子。
