1、整数的意义与读写法

（1）整数的意义：像-3，-2，-1，0，1，2，3......这样的数叫作整数，整数中大于零的数称为正整数，小于零的数称为负整数，正整数，零和负整数统称为整数。

（2）读法：从个位起，四个数级分一级，从高位开始读，一级一级往下读，亿级是几读几亿，万级是几读几万，个级是几就读几。每一级中，开头与中间的零不管几个零，都只读一个零。

（3）写法：找到“亿”、“万”等关键字，分级，从高位起，一级一级往下写，亿级是几就写几，万级是几就写几，个级是几也写几，哪一个数位上一个计数单位都没有的，就在那个数位上写0占位。

（1）自然数的定义：我们在数物体时，用来表示物体个数的0，1，2，3......叫作自然数。

（2）自然数的基本单位：任何非0的自然数都是若干个一组成的，所以一是自然数的基本单位。

（3）0的含义：一个物体也没有，用0表示。0是最小的自然数，但不是最小的一位数，在自然数中，最小的一位数是1。0有很多含义，比如在表示温度时，它是零上温度与零下温度的分界线，在刻度尺上，它是起点，在数轴上，它是正数与负数的分界点，在计数时，0起占位作用，还可以从运算的角度认识0，如何0加任何数都等于原数，0乘任何数都得0。任何数减0都等于原数，0不能作为除数。

（4）基数与序数：表示物体有多少个的数叫作基数，表示物体位于第几个的数叫作序数。

比较两个正整数的大小，先看它们的位数，如果位数不同，那么位数多的数更大，如果位数相同，就从最高位比起，最位上的数大的数更大，如果最位还是相同，就比下一位，以此类推。

（1）改写整数：把多位数改写成用“万”或“亿”作单位的数，先把原数的小数点向左移动4位或8位，（或者在万位或亿位的右下角点上小数点）（小数末尾的0要划掉）再在数的后面加上“万”或“亿”字。整数的改写得到的是准确值，与原数相等，所以用=连接。

（2）省略尾数：省略万位或亿位后面的尾数（精确到万位或亿位），先用四舍五入法省略万位或亿位后面的尾数，再在后面加万、亿字。四舍五入到哪一位，看这一位后面的数，如果是0，1，2，3，4就四舍，如果是5，6，7，8，9就五入。省略尾数得到的是近似数，与原数是近似相等，用“≈”连接。

无论是改写整数还是省略尾数，都是改变原数的计数单位，根据要求用“万”、“亿”作单位。

1、因数与倍数的定义：c就是a和b的倍数，a和b就是c的因数。由于0的特殊性，在自然数范围内，我们研究因数与倍数，一般不包括0。

2、倍数的特征：一个数的倍数个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

3、因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

4、最大公因数与最小公倍数：

（1）最大公因数：几个数公有的因数叫作它们的公因数，其中最大的一个叫作最大公因数。

（2）最小公倍数，几数公有的倍数叫作它们的公倍数，其中最小的一个叫作最小公倍数。

几个数的公倍数是无限的，没有最大的公倍数，1是所有非0自然数的公因数。

一个数的最小因数是1，最大公因数是它本身，一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数。

两个数的公因数是最大公因数的因数，最大公因数是公因数的倍数。

两个数的公倍数是最小公倍数的倍数，最小公倍数是公倍数的因数。

两个数的最小公倍数是最大公因数的倍数，最大公因数是最小公倍数的因数。

（3）列举法找两个数的公因数与最大公因数

把两个数的所有因数找出来，然后去找相同的因数，也就是公因数，在公因数中找最大的公因数。

列举法找两个数的公倍数与最小公倍数：

先分别把两个数的所有倍数找出来，然后去找相同的倍数，也就是公倍数，最后在公倍数中找最小的公倍数。

（4）短除法找两个数的“最大公因数“：

用2、3、5、7......作为除数，除到商只有公因数1为止。把左边的所有除数相乘所得到的数就是这两个数的“最大公因数：。

短除法找两个数的“最小公倍数”：

用2、3、5、7......作为除数，除到商只有公因数1为止。把“左边的所有除数”和“除到最后是互质数的商”相乘所得到的数就是这两个数的“最小公倍数”。

（5）找最大公因数与最小公倍数的三种情况

5、互质数：公因数只有1的两个数叫作互质数。

6、 2、5、3的倍数特征：

（1）2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数

（2）3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数 的数

（3） 5的倍数特征：个数上是0或5的数

（4）同时是2、5的倍数特征：个位上是0

（5）同时是2和3的倍数特征：个位上是0，2，4，6，8，并且各个数位上的数字之和是3的倍数 的数。

（6）同时是3和5的倍数特征：个位上是0，5，并且各个数位上的数字之和是3的倍数 的数。

（7）同时是2、3、5的倍数特征：个位是0，并且各个数位上的数字之和是3的倍数 的数。

（8）一个数各个数位上的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。3的倍数不一定是9的倍数，但9的倍数一定是3的倍数。

（1）奇数：不是2的倍数的数叫作奇数，个位上是1、3、5、7、9

（2）偶数：是2的倍数的数叫作偶数。个位上是0，2，4，6，8（0也是偶数。）

数的奇偶性：两个偶数相加减或者两个奇数相加减，结果都是偶数。一个奇数和一个偶数相加减，结果都是奇数。

（1）质数的定义：一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数。（素数）（只有2个因数）

（2）合数的定义：一个数除了1和它本身以外，还有别的因数，这样的数叫作合数。（至少3个因数）

（3）1只有它本身一个因数，所以1既不是质数也不是合数。

二、三、五、七、一十一，一三，一九，一十七

二（三、九），三（一、七），五（三，九），六（一、七）

七（一、三、九），八三，八九

四（一、三、七），九十七。

一个合数，可以写成几个质数相乘的形式，这样的过程叫作“分解质因数”

比如：12=2×2×3 2、3都是质数，又都是12的因数，所以，2、3是12的质因数。

质因数：一个数它既是另外一个数的“质数”，又是这个数的“因数”。

用短除法，2、3、5、7等质数去试商，一直除下去，除到商是质数为止。

1、小数的意义：小数是十进制分数的另一种表现形式，十分之几，百分之几，千分之几.....的数都可以用小数来表示。

2、整数与小数的数位顺序表

3、小数的由三部分组成：小数的中间的圆点叫作小数点，小数的左边叫作整数部分，小数点的右边叫作小数部分。

4、小数的读法：从左往右，先读整数部分，再读小数点，最后读小数部分，整数部分按整数的读法来读，小数点读作点，小数部分依次读出每个数字，即使是连续的几个0，也要依次出来。

5、小数的写法：写小数时，先写整数部分，再写小数点，最后写小数部分。整数部分按整数的写法来写，小数点写在个位的右下角，小数部分从高位起，依次写出每一个数位上的数字。

6、小数的大小比较：比较两个数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数更大，整数部分相同，十分位上的数大的那个数就更大，十分位上的数相同，就比百分位，依此类推。

7、小数的位数：小数点后面有几个数字，这个小数就是几位小数。

（1）四舍五入法：要把小数保留到哪一位，就要看这一位后面的那一位，运用四舍五入法省略尾数。如果是0、1、2、3、4就四舍，如果是5、6、7、8、9就五入。四舍五入到哪一位，这一位后面的数字全部改写成0，再省略掉。中间用≈连接。

四舍五入法求积的近似值：先计算出正确的积，再根据四舍五入法取近似值。

四舍五入法求商的近似值：先计算出正确的商，再根据四舍五入法取近似值。

（2）去尾法：小数取近似值时，根据实际情况，整数部分不变，小数部分舍去。

（3）进一法：小数取近似值时，根据实际情况，整数部分的个位加1，小数部分舍去。

（1）定义：一个小数，从小数部分的某一位开始，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数。循环小数不是从“整数部分”开始循环的。

（2）循环节：在一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字。

（3）循环小数的记法：

普通记法：先写两个循环节，再在后面加三个点。

简便记法：先写一个循环节，在循环节的首位（第一个数字）和末尾（最后一个数字）的上面标圆点。表示这几个数字是依次重复重现的，这样的圆点叫作循环点。如果循环节只有一个数字，那就在上面标一点。

11、“循环小数”一定是“无限小数”，但“无限小数”不一定是“循环小数”。

12、小数的性质：小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。

（1）“末尾是0的小数”改写成“整数”：去掉小数末尾的0和小数点。

（2）“整数”改写“末尾是0的小数”：在整数末尾补上小数点与0。

14、小数点位置的移动引起小数大小的变化规律

一个数÷10， 小数点向左移动一位， 缩小到原来的十分之一

一个数÷100， 小数点向左移动两位， 缩小到原来百分之一

一个数÷1000， 小数点向左移动三位， 缩小到原来千分之一

一个数×10， 小数点向右移动一位， 扩大到原来的10倍

一个数×100， 小数点向右移动两位， 扩大到原来的100倍

一个数×1000， 小数点向右移动三位， 扩大到原来的1000倍

小数点的移动，可以在小数的左右两边补0，然后根据要求移动小数点。

1、分数的意义：把单位1平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫作分数，表示其中一份的数是这个分数的“分数单位”。这个整体叫作整体1，也可以叫作单位1，用自然数1表示。

2、分数单位：分母是几，这个分数的单位就是几分之一。

3、分数相同，所以的整体量相同，部分量才能相同，整体量不同，部分量也会不同。

（1）真分数：分子比分母小的分数。（<1）

（2）假分数：分子大于分母或分子等于分母。（=1，>1）

（3）带分数是整数与真分数的组合，所以带分数是假分数的另一种表现形式，是假分数的一种。

（1）真分数与假分数的读法：先读分母，再读分之，最后读分子。

（2）带分数的读法：先读整数部分，再读又，最后读分数部分。

（1）真分数与假分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子。

（2）带分数的写法：先写整数部分，再写分数部分。

10、假分数与整数的互化。

（1）假分数 化成 整数：分子÷分母，商就是整数。

（2）整数 化成 假分数：指定一个数作“分母”，用这个“指定的数×整数的积”作“分子”。

11、假分数与带分数：

（1）假分数 化成 带分数：分子÷分母，商写在整数部分，除数作分母，余数作分子。

（2）带分数 化成 假分数：分母不变，“整数×分母+分子”作“分子”。

12、最简分数：分子与分母是互质数。

最简真分数：分子与分母是互质数，而且是真分数。

13、分数的基本性质：分数的分子与分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

14、约分：把分数的分子与分母同时除以它们的公因数，分数的大小值不变，这样的过程叫作约分。

（1）多次约分：分子分母多次除以公因数，（也可以是2、3、5、7......）直到最简分数为止。

（2）一次约分：分子与分母直接除以最大公因数（可以在短除法最后的商中找出来。）

15、通分：把分母不同的分数化成分母相同的分数，而且的分数的大小值不变。

通分的方法：先用“短除法”找出原来“几分数的分母”的“最小公倍数”作为“公分母”。

17、倒数：乘积是1的两个数互为倒数，1的倒数是1，0没有倒数。

1、什么是百分数？像84％，100％，117.5％这样表示一个数是另一个数的百分之几的数，也叫百分比、百分率。

2、百分数的写法：写百分数时，不写成“分数形式”，去掉分数线与分母，分子后面加“％”。 先写百分号前面的数字，再写百分号。 84%。

3、百分数的读法：先读百分号，再读百分号前面的数字。 1.6％读作: 百分之一点六。 先读百分号，再读百分号前面的数字。

4、全校学生的出勤率为95％ 表示：出勤人数是全校人数的。

5、表示一个数是另一个数的千分之几的数叫作“千分数”,也叫“千分比,千分率”,千分数有“千分号”：‰ 117‰ 读作：（ 千分之一百一十七 ）。

6、百分数与分数最根本的区别：

百分数只能表示两个数之间抽象的“倍比关系”，不表示具体的数量（值），所以百分数后面是不能写单位的。分数既可以表示两个数之间抽象的“倍比关系”，也可以表示具体的数量（值），表示关系时不带单位，表示具体数量（值）时就带单位。

7、“百分率”就是一种百分数，就是指一个数是另一个数的百分之几。计算“百分率”的方法与求一个数是另一个数的几分之几的方法一样。部分量÷总量（比较量÷标准量），结果用百分数表示。

8、各种“百分率”的求法：

合格率= 合格人数除以总数 （结果用百分数表示）

总之，求什么率 就是用什么除以总数。

出勤率、成活率、合格率、发芽率、及格率等最高是100%，完成率、增长率、利润率等可以超过100%。

9、百分数、小数、分数的互化：

（1）“小数”化成“分数”：先把分数改写成分母是10、100、1000。。。。。。的分数，再约分。

（2）“分数”化成“小数”：用分子除以分母

（3）“小数”化成“百分数”方法一：小数的小数点向（右）移动两位，再添上“％”。

方法二：把小数化成分母是（ 100 ）的分数，再改写成百分数。

（4）“分数”化成“百分数”：

方法一：分子÷分母,得到的小数改写成百分数(陈不尽时,计算时算出四位小数，商保留三位小数，改成百分数时，百分号前面是一位小数.（四三一工程）

方法二：把分数化成分母是（ 100 ）的分数，改写成分数.

（5）“百分数”化成“小数”：

方法一：去掉（%），得到的数的小数点向(左)移动（两）位，位数不够时就补（0）．

方法二：把百分号前面的数直接( 除以100 ),

（6）“百分数”化成“分数”

方法一：把百分数改写成分母是( 100 )的分数,再约成( 最简分数 ).

方法二：把百分数化成小数,再把小数化成分数,再约成( 最简分数）

常见的分数、小数、百分数、比的转化：

10、百分数、小数、分数的混合运算中，百分数有时不能直接参与运算，要变成小数与分数来计算，解有百分数的方程也是如此。

11、数学精彩阅读（过把瘾吧！）“百分数”与“分数”的区别与联系

（1）几成：百分之几十， 几成几：百分之几十几

（2）几折：百分之几十， 几几折：百分之几十几

己知商品的原价， 打几折（几几折） 求现价是多少

现价=原价×（十分之几）（百分之几十，百分之几十几）

（1）应纳税额：缴纳的税款叫作“应纳税额”，根据纳税种类不同，应纳税额的计算方法不同。

税率：应纳税额与各种收入的比率叫作“税率”

（2）存入银行的钱叫作“本金”，取款时银行多给的钱叫作“利息”，一年利息与本金的比率叫作“年利率”。

12、总收入=本金+利息

利息 =总收入－ 本金

利息=本金×利率×时间

利率=利息÷本金÷时间

本金=利息÷利率÷时间

时间= 利息÷本金÷利率

百分数的应用一般分为以下几种类型：

（1）求一个数百分之几是多少（比较量）

（2）求一个数是另一个数的百分之几（分率）

（3）己知一个数的百分之几是多少，求这个数（标准量）

（4）求“比一个数多（少）百分之几的数”是多少

（5）已知“比一个数多（少）百分之几的数是多少”，求这个数。

（6）求谁比谁多（少）百分之几？

（7）总量、一部分量对应的分率、另一部分量

（8）己知两个部分相加（相差）的数量，两个部分占整体的分率，求总量。

（9）本金、利息、利率

百分数的应用三个关键要素：比较量、标准量、百分率

求比较量或部分量一般用乘法，求标准量、总量一般用除法或者根据等量关系式来列方程解答，题型较多，同学们一定要小心分析，分辨。

1、求一个数的百分之几是多少？标准量×分率=比较量

2、求一个数是另一个数的百分之几？比较量÷标准量=分率

3、己知一个数的百分之几是多少，求这个数。比较量÷分率=标准量

4、己知 比较量 比 标准量 多 百分之几

标准量 × （1+分率） =比较量

比较量 ÷ （1+分率） =标准量

5、己知 比较量 比 标准量 少 百分之几

标准量 × （1—分率） = 比较量

比较量 ÷ （1—分率） = 标准量

6、求 谁 比 谁 多 百分之几

两个量之差÷标准量 、（大—小）÷标准量、比较量 ÷ 标准量 — 1

例如：60比50多（ ）%

7、求 谁 比 谁 少 百分之几

两个量之差÷标准量 、（大—小）÷标准量 、 1—比较量 ÷ 标准量

例如：40比50少（ ）%

8、总量、一部分量对应的分率、 另一部分量

（1）总量×（1 — 一部分量对应的分率） = 另一部分量

例如： 全班×（1—男生分率）=女生人数

（2）另一部分量÷（1 — 一部分量对应的分率）= 总量

例如：女生人数÷（1—男生分率）=全班

在一次冬令营活动中，男生占总人数的60%，女生占总人数的40%，男生比女多40人，请问：这次冬令营一共有多少人参加？

10、己知两个部分相差的数量、两个部分的分率 ，求总数。

（1）两个部分相差的数量÷两个部分相差的分率=总数

（2）列出形状如：“A% — B% =？ ”的方程来解

有一袋彩虹豆，有许多种的颜色，红色的占30%，绿色的占20%，红色与绿色的豆子一共

有80颗，你知道这一袋彩虹豆一共有多少颗吗？

11、己知两个部分相加的数量、两个部分的分率 ，求总数。

（1）两个部分相加的数量÷两个部分相加的分率=总数

（2）列出形状如：“A% + B% =？ ”的方程来解

一定要用波浪线与横线画出标准量，比较量.......

1、商店里有苹果60个,梨是苹果的40%,梨有多少个?

2、商店里有苹果60个,苹果是梨的40%,梨有多少个?

3、商店里有苹果60个,香蕉是苹果的40%,梨是香蕉的40%,梨多少个?（综合算式）

60×40%×40%= 百分数应用的混合运算，连续求一个数的百分之几是多少

4、商店里有苹果60个,香蕉是苹果的40%,香蕉又是梨的40%,梨多少个?（综合算式）

60×40%÷40%= 百分数应用的混合运算，先求比较量，再求标准量

5、商店里有苹果60个,苹果是香蕉的40%,香蕉又是梨的40%,梨多少个?（综合算式）

60÷40%÷40%= 百分数应用的混合运算，先求标准量，再求比较量

6、商店里有苹果60个,梨有40个,苹果是梨的百分之几?

60÷40= 求一个数是另一个数的百分之几

7、商店里有苹果60个,梨有40个,苹果比梨多百分之几?

8、商店里有苹果60个,梨有40个,梨比苹果少百分之几?

9、商店里有苹果60个,梨比苹果多40%,梨多少个?

10、商店里有苹果60个,苹果比梨多20%,梨多少个?

60÷（1+分率）= 比较量÷（1+分率）=标准量

11、商店里有苹果60个,梨比苹果少40%,梨多少个?

60×（1—40%）= 标准量×（1—分率）=比较量

12、商店里有苹果60个,苹果比梨少40%,梨多少个?

60÷（1—40%）= 比较量÷（1—分率）=标准量

13、商店里有苹果60个，香蕉比苹果多20%，梨比香蕉少20%，梨多少个？（综合算式）

60×（1+20%）×（1—20%）= 百分数应用的混合运算，两次都求比较量

14、商店里有苹果60个，苹果比香蕉多20%，香蕉比梨少20%，梨多少个？（综合算式）

60÷（1+20%）÷（1—20%）= 百分数应用的混合运算，两次都求标准量

15、商店里有苹果60个，苹果比香蕉多20%，梨比香蕉少20%，梨多少个？（综合算式）

60÷（1+20%）×（1—20%）= 百分数应用的混合运算，先求标准量，再求比较量

16、商店里有苹果60个，香蕉比苹果多20%，香蕉比梨少20%，梨多少个？（综合算式）

60×（1+20%）÷（1—20%）= 百分数应用的混合运算，先求比较量，再求标准量

1、用字母或含有字母的式子 可以表示“数”或“某种结果”。

2、用字母或含有字母的式子 可以表示“数量关系”。

3、用字母或含有字母的式子 可以表示“运算律”和“常见的计算公式”。

4、用字母表示的式子的读法与写法

（1）读法：在含有字母的式子里，字母就读字母的名称。

（2）写法：在含有字母的式子里，字母与字母之间，字母与数字之间的乘号可以用圆点表示或省略不写，数字一般写在字母前面。 当1与任何字母相乘时，1都可以省略不写。

5、一个字母在不同的数量关系中可以表示不同的数量。但在同一个数量关系中只能表示一种数量。

1、什么是等式：表示相等关系的式子叫作等式。

2、什么是方程：含有未知数的等式叫作方程。

3、等式与方程的关系：所有的方程都是等式，但等式不全是方程，二者之间的关系用集合图表示。

4、“方程的解”与“解方程”：

（1）方程的解：使方程的左右两边相等的未知数的值，叫作“方程的解”，也就是方程中的未知数的值。

（2）解方程：求“方程的解”的过程

（3）解方程的方法：一是等式的基本性质，二是加减、乘除法的逆关系。

（1）等式的左右两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。

（2）等式的左右两边同时乘或除以同一个数（0除外），等式仍然成立。

（3）加减法与乘除法的互逆关系：

加数+加数=和 和— 一个加数=另一个加数

被减数-减数=差 减数+差=被减数 差+减数=被减数 被减数-差=减数

因数×因数=积 积÷一个因数=另一个因数

被除数÷除数=商 除数×商=被除数 商×除数=被除数 被除数=除数×商

6、列方程以设备解应用题的一般的步骤：

（1）分析题意，列出等量关系式。

（2）设未知数为x. 设未知数为x有两种：一是直接设定，求什么数就设什么数为x,二是间接设定，先设一个与未知数有关的另一个数为x，再通过这个数去求所求的问题。

（5）检验方程并解答：把解得的未知数的值代入原方程，分别计算方程的左右两边，如果左右两边相等，未知数就是原方程的解，反之则不是。

在解方程的过程中，与算式的递等式（脱式）不同，递等式的等号在最左边，而解方程时，等号在中间并且对齐，一般每一行写一个方程，把未知数写在等号的左边，